Question

在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y 成等差数列，若插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列。
求证：（a+1）²≥（b+1）（c+1）。

Answer 1

证明：由条件，得，
消去x，y，即得，且有a>0，b>0，c>0，
要证（a+1）²≥（b+1）（c+1），
只需证，
即证
也就是证 2a≥b+c，
而，只要证，
即证b³+c³= （b+c）（b²+c²-bc）≥（b+c）bc，
即证b²+c²-bc≥bc，
即证（b -c）²≥0，
因为上式显然成立，
所以（a+1）²≥（b+1）（c+1）。