Question

19．由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{y≥5}\\{0≤x≤2}\end{array}\right.$围成的三角形区域有一个外接圆，在该圆内随机取一点，该点落在三角形内的概率是（　　）

• A． $\frac{2}{π}$
• B． （3-2$\sqrt{2}$）π
• C． $\frac{1}{π}$
• D． $\frac{1}{2π}$

Answer 1

分析 根据题意，设区域边界的三条直线的交点分别为ABC，结合图形易得△ABC是等腰直角三角形，且AB=2，即可得其面积，又由直角三角形的性质，可得其内切圆的半径，进而可得其面积，由几何概型可得点落在圆内的概率，可得答案．

解答 解：根据题意，设直线x-y+5=0与x=2交于点A，易得A（2，7），
不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{y≥5}\\{0≤x≤2}\end{array}\right.$能围成的三角形区域，其边界直线为y=5，x-y+5=0，x=2，
设x-y+5=0与y=5交于点C，x=2与y=5交于点B，则B（2，5）
分析可得△ABC是等腰直角三角形，且AB=2，
则其面积为S=$\frac{1}{2}$×2²=2
∴内接圆半径r=2-$\sqrt{2}$，
其面积为S₁=π（2-$\sqrt{2}$）²=（6-4$\sqrt{2}$）π，
∴在该圆内随机取一点，该点落在三角形内的概率为（3-2$\sqrt{2}$）π．
故选：B．

点评 本题考查几何概型的计算，关键在于发现三角形ABC为直角等腰三角形，进而可以求出其面积与内接圆的面积．