【题目】《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑中,平面,,且,过点分别作于点,于点,连接,则三棱锥的体积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
由已知可得△AEF、△PEF均为直角三角形,且AF=2,由基本不等式可得当AE=EF=2时,△AEF的面积最大,然后由棱锥体积公式可求得体积最大值.
由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,
又AB⊥BC,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,则BC⊥AE,
又PB⊥AE,则AE⊥平面PBC,
于是AE⊥EF,且AE⊥PC,结合条件AF⊥PC,得PC⊥平面AEF,
∴△AEF、△PEF均为直角三角形,由已知得AF=2,
而S△AEF=(AE2+EF2)=AF2=2,
当且仅当AE=EF=2时,取“=”,此时△AEF的面积最大,
三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为:
VP﹣AEF===.
故答案为:
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【题目】已知函数f(x)=(3-x)ex,g(x)=x+a(a∈R)(e是自然对数的底数,e≈2.718…).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若函数h(x)=在区间(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值,并且函数h(x)的极大值小于整数b,求b的最小值.
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【题目】某单位组织“学习强国”知识竞赛,选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题。
(1)求甲选手能晋级的概率;
(2)若乙选手每题能答对的概率都是,且每题答对与否互不影响,用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平。
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线:(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
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【题目】已知函数(为自然对数的底数),是的导函数.
(Ⅰ)当时,求证;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得对一切恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,说明理由.
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【题目】2018年全国数学奥赛试行改革:在高二一年中举行5次全区竞赛,学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训,不用参加其余的竞赛,而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定:若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名,则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是,每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.
(1)求该学生进入省队的概率.
(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为,求的分布列及的数学期望.
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【题目】三角形面积为,,,为三角形三边长,为三角形内切圆半径,利用类比推理,可以得出四面体的体积为( )
A.
B.
C. (为四面体的高)
D. (其中,,,分别为四面体四个面的面积,为四面体内切球的半径,设四面体的内切球的球心为,则球心到四个面的距离都是)
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【题目】已知椭圆的离心率为,左顶点为,过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线和,分别交直线于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的面积的最小值;
(Ⅲ)设直线与椭圆的另一个交点为,椭圆的右顶点为,求证:,,三点共线.
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