Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右两个焦点为F₁、F₂，离心率为

1

2

，又抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）与椭圆C₁有公共焦点F₂（1，0）．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁且与抛物线交于不同两点P、Q，且满足

F1P

=λ

F1Q

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的性质，确定几何量，从而可求椭圆的方程，利用抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程；
（2）直线l的方程和抛物线方程联立，利用直线和抛物线有两个交点，确定k的范围，利用向量知识，确定坐标之间的关系，由k的范围，可得实数λ的取值范围．

解答：解：（1）在椭圆中，c=1，e=

1

2

，所以a=2，b=

a2-c2

=

3

，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（2分）
抛物线中，

p

2

=1，所以p=2，故抛物线方程为y²=4x…（4分）
（2）设直线l的方程为y=k（x+1）和抛物线方程联立，得

y=k(x+1) y2=4x.

消去y，整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因为直线和抛物线有两个交点，所以k≠0，（2k²-4）²-4k⁴＞0．
解得-1＜k＜1且k≠0…（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1…（8分）
又

F1P

=λ

F1Q

，所以

x1+1=λ(x2+1) y1=λy2.

又y²=4x，由此得4x₁=λ²4x₂，即x₁=λ²x₂．
由x₁x₂=1，解得x₁=λ，x₂=

1

λ

…（10分）
又x1+x2=

4-2k2

k2

=

4

k2

-2，所以λ+

1

λ

=

4

k2

-2．
又因为0＜k²＜1，所以λ+

1

λ

=

4

k2

-2＞2，
解得λ＞0且λ≠1…（14分）

点评：本题考查椭圆与抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．