Question

18．设函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），函数g（x）=-x²+bx+c，且f（4）-f（2）=1，g（x）的图象过点A（4，-5）及B（-2，-5）．
（1）求f（x）和g（x）的表达式；
（2）求函数f[g（x）]的定义域和值域．

Answer 1

分析 （1）运用条件得出方程求解即可
（2）转化为不等式-x²+2x+3＞0求解得出定义域，配方-x²+2x+3=-（x²-1）²+4≤4
利用单调性求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
f（4）-f（2）=1，
∴log_a$\frac{4}{2}$=1，a=2，
∴f（x）=log₂x，
∵g（x）的图象过点A（4，-5）及B（-2，-5）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}=1}\\{-16+4b+c=-5}\end{array}\right.$即b=2，c=3，
∴函数g（x）=-x²+2x+3；
（2）函数f[g（x）]=log₂（-x²+2x+3），
∵-x²+2x+3＞0，
∴-1＜x＜3，
定义域：（-1，3），
∵-x²+2x+3=-（x²-1）²+4≤4，
∴log₂（-x²+2x+3）≤log₂4=2，
即值域为：（-∞，2]．

点评 本题考察函数的定义，性质，转化为不等式问题，配方思想，属于简单的综合题目．