Question

半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB
为边向外作正三角形ABC，问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．

Answer 1

分析：设∠AOB=θ，AB=x，则由余弦定理求得 x²=5-4cosθ．再利用两角和差的正弦公式化简S_OACB =S_△AOB+S_△ABC 的解析式为 

5 3

4

+2sin(θ-

π

3

)，从而求得S_OACB的面积取得最大值．

解答：解：设∠AOB=θ，则S_OACB =S_△AOB+S_△ABC．
设AB=x，则x²=OB²+OA²-2OB•OAcosθ=1²+2²-2×1×2•cosθ=5-4cosθ．
故 S_OACB=S_△AOB+S_△ABC=

1

2

×1×2•sinθ+

1

2

•x•x•sin

π

3

=sinθ+

3

4

(5-4cosθ)=

5 3

4

+sinθ-

3

cosθ=

5 3

4

+2sin(θ-

π

3

)，
∴当sin(θ-

π

3

)=1，即θ=

5π

6

时，S_OACB的面积取得最大值，并且最大值是

5 3

4

+2．

点评：本题主要余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题．