Question

1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C，F分别在两个半圆弧的中点，PE∥AC，PA=AC=2，PE=1．
（1）求证：BC⊥AE；
（2）求直线PF与平面ECB所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面PAC，即可证明BC⊥AE；
（2）建立如图所示的坐标系，求出平面ECB的平面角，$\overrightarrow{PF}$，即可求直线PF与平面ECB所成角θ的正弦值．

解答 （1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，
∵PA垂直圆O所在的平面，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵PE∥AC，
∴AE?平面PAC，
∴BC⊥AE；
（2）解：∵点C，F分别在两个半圆弧的中点，
∴AF⊥AC，
建立如图所示的坐标系，则P（0，0，2），F（0，2，0），C（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，2），
设平面ECB的平面角为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{EC}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{EB}$=（1，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
∵$\overrightarrow{PF}$=（0，2，-2），
∴直线PF与平面ECB所成角θ的正弦值|$\frac{-2}{\sqrt{4+1}•\sqrt{4+4}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的性质与判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．