[题目]如图.在三棱锥中.分别是的中点.平面平面..是边长为2的正三角形..(1)求证:平面,(2)求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，在三棱锥中，分别是的中点，平面平面，，是边长为2的正三角形，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）利用空间向量，通过计算进行证明：先建立空间直角坐标系，设各点坐标，表示，以及平面中两相交直线，，利用向量数量积计算证明，，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）利用方程组求出各面法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据二面角与向量夹角关系确定二面角余弦值

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，建立空间直角坐标系，则，

，

，得，

CA，CK是平面KAC内的两条相交直线，

所以平面KAC.

（Ⅱ）解：平面BDF的一个法向量，

平面BDE（即平面ABK）的一个法向量为

，

所以二面角的余弦值为.

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