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(2006·湖南)已知椭圆,抛物线(p0),且的公共弦AB过椭圆的右焦点.

(1)ABx轴时,求mp的值,并判断抛物线的焦点是否在直线AB上;

(2)是否存在mp的值,使抛物线的焦点恰在直线AB?若存在,求出符合条件的mp的值;若不存在,请说明理由.

答案:略
解析:

(1)ABx轴时,点AB关于x轴对称,

m=0,直线AB的方程为x=1

∴点A的坐标为

∵点A在抛物线上,∴,即

此时的焦点坐标为,该焦点不在直线AB上.

(2)假设存在mp的值使的焦点恰在直线AB上,由(1)知直线AB的斜率存在,故可设直线AB的方程为y=k(x1)

消去y

.        ①

AB的坐标分别为

是方程①的两根,

消去y,得.②

因为的焦点Fy=k(x1)上,

所以,即,代入②有

.        ③

因为也是方程③的两根,所以

从而. ④

AB的焦点,所以

.  ⑤

由④⑤得

,解得.即

因为的焦点在直线y=k(x1)上,

所以.即

时,直线AB的方程为

时,直线AB的方程为


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