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已知x,y,z∈R+且x+y+z=1,求证:
x
+
y
+
z
3
分析:利用分析法,将欲证不等式两边平方,利用条件,结合基本不等式,即可证得结论.
解答:证明:欲证
x
+
y
+
z
3

只需证x+y+z+2
xy
+2
xz
+2
yz
≤3

∵x+y+z=1
∴只需证
xy
+
xz
+
yz
≤1

xy
x+y
2
xz
x+z
2
yz
y+z
2

累加可得
xy
+
yz
+
xz
≤1
故得证.
点评:本题考查不等式的证明,考查分析法的运用,考查基本不等式,属于中档题.
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11、已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为
3

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(1)x2+y2+z2+3≥2(x+y+z);(2)
x+y
2
xy
;(3)|x+y|≤|x-2|+|y+2|;(4)x2+y2+z2≥xy+yz+zx.
其中一定成立的不等式的序号是
 

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1
2
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02
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π
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)
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1
2
,证明:x,y,z∈[0,
2
3
].

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