Question

【题目】如图，已知二次函数的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，连接、．

（1）求线段的长；

（2）若平分，求的值；

（3）该函数图象的对称轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）令，建立方程，求出点坐标，即可得出结论；
（2）先表示出，进而表示出，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出点是的外接圆的圆心，进而得出，最后用三角函数建立方程求解即可．

（1）∵ 二次函数的图象与轴相交于点、，

∴令，则，

或，

，，

，

故答案为2；

（2）如图，

由（1）知，，，

，，

令，，

，

，

过点作，

，

，

，

是的平分线，

，

，

，

，

，

在中，根据勾股定理得，，

，

（舍）或（舍）或；

（3）存在，

理由：假设存在，如图，

二次函数，

抛物线对称轴为，

点是的垂直平分线上，

是等边三角形，

，，

点是的垂直平分线上，

点是的外接圆的圆心，

，

，

，，

，，

，

函数图象的对称轴上存在点，使得为等边三角形．