Question

在三棱锥O-ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直．OA=2，OB=

6

，直线AC与平面OBC所
成的角为45°．
（Ⅰ）求证：OB⊥AC；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，从而OB⊥平面OAC，由此能证明OB⊥AC．
（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角O-AC-B的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵OA，OB，OC两两垂直，
即OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，
∴OB⊥平面OAC，
又AC?平面OAC，∴OB⊥AC．
（Ⅱ）解：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意得B（

6

，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），

AB

=（

6

，0，-2），

AC

=（0，2，-2），
设平面ABC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB = 6 x-2z=0 n • AC =2y-2z=0

，取y=1，得

n

=（

6

3

，1，1），
由题意得平面AOC的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

m

，

n

＞=

6 3

8 3

=

1

2

，
∴二面角O-AC-B的大小为60°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．