Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②当x＞0时，f（x）＜0且f（1）=-2．两个条件，
（1）求证：f（0）=0；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）的单调性；
（4）解不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可得f（0）的值；
（2）令y=-x，可得f（x）与f（-x）的关系，知f（x）的奇偶性；
（3）用定义判定f（x）的单调性；
（4）利用f（x）的单调性与奇偶性化简不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8，再求出解集．

解答：解：（1）证明：∵对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0）；
∴f（0）=0；
（2）令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数；
（3）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是R上的减函数；
（4）∵f（x²-2x）-f（x）=f（x²-2x）+f（-x）=f（x²-3x）≥-8，
又-8=4f（1）=f（4），即f（x²-3x）≥f（4）；
且f（x）是R上的减函数；
∴x²-3x≤4，
解得-1≤x≤4；
∴不等式的解集为{x|-1≤x≤4}．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定以及应用问题，是中档题题．