Question

4．如图，矩形ABCD中，BC⊥平面ABE，且BC=4，AE=EB，F为CE的中点，且BF⊥平面ACE，B∩AC=G  
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求证：AE⊥平面BCE；
（3）求三棱锥E-ADC的体积．

Answer 1

分析 （1）连接GF，由三角形的中位线可得到GF∥AE，再由线面平行的判定定理得证；
（2）证明AE⊥平面BCE，利用线面垂直的判定定理，只需证明AE⊥BC，BF⊥AE即可；
（3）证明OE⊥平面ADC，再用三棱锥的体积公式求解．

解答 （1）证明：连结 GF，矩形ABCD中，BD∩AC=G
∴G为AC中点，又F为CE的中点，
∴GF∥AE．…（2分）
∵AE?平面BFD，GF?平面BFD，∴AE∥平面BFD．…（3分）
（2）证明：∵BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，∴BC⊥AE．
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面AEC，∴BF⊥AE，…（5分）
∵BC∩BF=BH，且BC，BF?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE   …（6分）
（3）解：取AB中点O，连结OE，
∵AE=EB，∴OE⊥AB
∵BC⊥平面ABE，∴OE⊥BC，
又∵AB∩BC=B，AB、BC?平面ABCD，
∴OE⊥平面ADC  …（8分）
∵BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，∴BF⊥CE，
又F为CE的中点，∴BC=BE=4，…（10分）
由（2）知AE⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴AE⊥EB．
∴△AEB为等腰直角三角形，∴$AB=\sqrt{A{E^2}+B{E^2}}=4\sqrt{2}$…（12分）
∴$OE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$，
故三棱锥E-ADC的体积为：${V_{E-ADC}}=\frac{1}{3}{S_{△ADC}}．OE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{32}{3}$…（14分）

点评 本题主要考查线线，线面关系的转化，考查了线面平行，垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法，属中档题．