【题目】设、是两个正整数(允许与相等),、是两个由若干个实数组成的集合,且,(允许),集合满足:若、、、,且,则或且,或(且).定义一个集合.试求出的最小可能值(表示集合的元素个数).
【答案】
【解析】
记,.
列表如下(见表1).
表1
在表1中,与的交汇处所填的数为,共形成个数.现在要从这个数中删去数值相等的数,使得剩下的数两两不等.显然每一行个数两两不等,每一列的个数也两两不等.
引理:在表1中任何两行之中(共个数)不可能有两对数分别对应相等.
引理的证明:用反证法.
考虑、 这两行,假设,
且(且),那么,
即.
再由题设中的性质得,或
且或(且).
由前者得到,从而,,这与前面假定矛盾.
由后者得到且.(因为,所以,).
从而,,,
这与前面假定矛盾.
回到原题.
由引理知,任何两行中至多删去一个数(在两个相等的数中只删去其中的一个数),
所以,表1中至多删去个数.使得至少剩下的个数两两不等,即.
(1)当时,取,且,具有题设中的性质,这时有,所以,的最小值是(当时).
(2)当时,考虑表2.
表2
注意到所在的行与所在的列组成一个正方形(用黑框标出),余下是一个的矩形该矩形的第列上的各个数分别是.
记,,则由(1)的结论知
(当时).
另外,可以举例说明上面不等式的等号可以成立.所以,的最小值为(当时).
综上所述,可知
注:当时,.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆: ( )的左右焦点分别为, ,离心率为,点在椭圆上, , ,过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于, 两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若, 的中点为,在线段上是否存在点,使得?若存在,求实数的取值范围;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知为抛物线上一点,斜率分别为,的直线PA,PB分别交抛物线于点A,B(不与点P重合).
(1)证明:直线AB的斜率为定值;
(2)若△ABP的内切圆半径为.
(i)求△ABP的周长(用k表示);
(ii)求直线AB的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】市某机构为了调查该市市民对我国申办年足球世界杯的态度,随机选取了位市民进行调查,调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
男性市民 | |||
女性市民 | |||
合计 |
(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;
(2)利用(1)完成的表格数据回答下列问题:
(i)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关;
(ii)已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人,其中位是教师,现从这位退休老人中随机抽取人,求至多有位老师的概率.
附:,其中.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示,该基地周光照量(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的有5周,不低于50小时且不超过70小时的有35周,超过70小时的有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量(千克)与使用某种液体肥料的质量(千克)之间的关系如图所示.
(1)依据上图,是否可用线性回归模型拟合与的关系?请计算相关系数并加以说明(精确到0.01).(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制,并有如下关系:
周光照量(单位:小时) | |||
光照控制仪运行台数 | 3 | 2 | 1 |
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
附:相关系数公式,
参考数据:,.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】目前,新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐,为了解新冠肺炎传播途径,采取有效防控措施,某医院组织专家统计了该地区名患者新冠病毒潜伏期的相关信息,数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者,称为“短潜伏者”,潜伏期高于平均数的患者,称为“长潜伏者”.
(1)求这名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),并计算出这名患者中“长潜伏者”的人数;
(2)现有名患者自愿报名某临床试验,其中“短潜伏者”人,“长潜伏者”人,医生从人中随机抽取两人做临床试验,求两人中恰有人为“长潜伏者”的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,四面体中,是正三角形,是直角三角形,是的中点,且.
(1)求证:平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成,将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、共8个等级,参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%,选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、,八个分数区间,得到考生的等级成绩.某市高一学生共6000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中化学考试原始成绩大致服从正态分布.
(1)求该市化学原始成绩在区间的人数;
(2)以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率,按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间的人数,求.
(附:若随机变量,则,,)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com