Question

设函数f(x)=

1

3

x-lnx(x＞0)，则函数f（x）（　　）

• A、在区间（0，1），（1，+∞）内均有零点
• B、在区间（0，1），（1，+∞）内均无零点
• C、在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点
• D、在区间（0，1）内无零点，在区间（1，+∞）内有零点

Answer 1

分析：求导，求得函数的单调区间在（0，3）单调递减，3，+∞）单调递增，当x=3时，f（x）取最小值1-ln3＜0，根据单调性和最值以及f（1）=

1

3

＞0．确定答案．

解答：解：∵函数f(x)=

1

3

x-lnx(x＞0)，
∴f′(x)=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

=0，得x=3
∴当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，3）单调递减，
当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）单调递增，
∴当x=3时，f（x）取最小值1-ln3＜0，
f（1）=

1

3

＞0．
∴f（x）在区间（0，1）内无零点，在区间（1，+∞）内有零点，
故选D．

点评：此题是中档题．考查函数的零点判定定理和利用导数研究函数的单调性和最值问题，同时了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．