Question

（2013•宁德模拟）已知函数f（x）=ax²+a（x＞0）的图象恒在直线y=-2x的下方，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，-1）

B．（-1，0）∪（0，+∞）

C．（-∞，0）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：把恒成立问题等价转化，利用导数即可得出a的取值范围．

解答：解：由题意可得：当x＞0时，-2x-（ax²+a）＞0恒成立．
即x∈（0，+∞）时，a＜

-2x

x2+1

恒成立?a＜[

-2x

x2+1

]min，x∈（0，+∞）．
令g(x)=

-2x

x2+1

，x∈（0，+∞），则g′(x)=

2(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
令g^′（x）=0，则x=1．
当x＞1时，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当0＜x＜1时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得极小值g（1）=-1，也是最小值．
∴a＜-1．
因此a的取值范围是（-∞，-1）．
故选A．

点评：正确把恒成立问题等价转化，熟练掌握利用导数求函数的极值最值是解题的关键．