Question

8．已知f（x）=2ax³+x²+2x+a．
（1）当a=0时，求函数的零点；
（2）证明对所有实数a，函数在区间（-1，1）上总有零点．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=x²+2x，令f（x）=0，解得函数的零点；
（2）由f（-1）•f（1）=-3（a+1）²≤0，结合函数零点存在定理，可得结论．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x²+2x，
令f（x）=0，则x=0，或x=-2，
即当a=0时，函数的零点为0，或-2，
证明：（2）∵f（x）=2ax³+x²+2x+a．
∴f（-1）=-a-1，f（1）=3a+3，
∴f（-1）•f（1）=-3（a+1）²≤0．
当a=-1时，f（x）=-2x³+x²+2x-1，
此时f（$-\frac{1}{2}$）=0，
当a≠-1时，f（-1）•f（1）＜0，
故函数在区间（-1，1）上总有零点．

点评 本题考查的知识点是函数的零点，函数的零点存在定理，难度中档．