Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a= ，且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由a，b，c是一个等比数列， 得：b2=ac，
∵a2﹣c2=ac﹣bc，
∴bc=b2+c2﹣a2
那么：cosA= = = ，
∵0＜A＜π
∴A=
（Ⅱ）∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，
∴sin（B+C）+sin（B﹣C）=2sin2C，
得：2sinBcosC=4sinCcosC．
即4sinCcosC﹣2sinBcosC=0，
可得：cosC=0或sinB=2sinC．
∵0＜C＜π
∴C= 或b=2c．
①当C= ，由题意，A= ，a= ，
由正弦定理得： ，
∴c=2．
故由勾股定理得：b=1．
故得△ABC的面积S= absinC= = ．
②当b=2c时，由题意，A= ，a= ，
所以由余弦定理得：那么：cosA= ，
可得：c=1，b=2．
故得△ABC的面积S= bcsinA= =
综上①②得：△ABC的面积S=
【解析】（Ⅰ）由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，且a2﹣c2=ac﹣bc，利用余弦定理可得∠A的大小．（Ⅱ）利用三角形内角和定理sinA=sin（B+C），根据和与差的公式和二倍角公式化简，利用正余弦定理求解b，c即可求△ABC的面积．
【考点精析】认真审题，首先需要了解余弦定理的定义(余弦定理:;;)．