Question

已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；
（2）若圆C与圆x²+y²-8x-12y+36=0外切，求m的值；
（3）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=

4 5

5

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的方程配方后，令等号右边的式子大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即为方程为圆时m的取值范围；
（2）根据两圆外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，所以利用两点间的距离公式求出两圆心之间的距离d，表示出圆C的半径r，找出已知圆的半径R，令d=R+r列出关于m的方程，求出方程的解即可求出此时m的值；
（3）先求出圆心C到直线l的距离d，然后根据垂径定理及勾股定理，由

1

2

|MN|和圆的半径

5-m

及求出的距离d列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）把方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，
若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5；
（2）把圆x²+y²-8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4）²+（y-6）²=16，得到圆心坐标（4，6），半径为4，
则两圆心间的距离d=

(4-1)2+(6-2)2

=5，
因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+

5-m

=5，解得m=4；
（3）因为圆C圆心C的坐标为（1，2），则圆心C到直线l的距离d=

1

5

=

5

5

，
所以(

5-m

)2=（

1

2

|MN|）²+d²，即5-m=1，解得m=4．

点评：此题考查学生掌握二元二次方程表示圆的条件，掌握两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径相加，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，是一道综合题．