Question

如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，且，AE=1，BF=DH=2，CG=3
（Ⅰ）证明：截面四边形EFGH是菱形；
（Ⅱ）求几何体C-EFGH的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分别交
平面ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以EF∥GH．
同理，FG∥EH．
因此，四边形EFGH为平行四边形．
因为BD⊥AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD．
因为BF=DH，所以FH∥BD．
因此，FH⊥EG．
所以四边形EFGH是菱形．
（Ⅱ）连接CE、CF、CH、CA，则V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE∵AE=1，BF=DH=2，CG=3且几何体是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分，∴该几何体的体积为，
同理，得V_C-ADHE=1
所以，V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE=4-1-1=2，
即几何体C-EFGH的体积为2．
分析：（I）由题意及图形因为平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分别交平面ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以EF∥GH，又因为BD⊥AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD，BF=DH，所以FH∥BD，利用直线成角的定义即可；
（II）连接CE、CF、CH、CA，则V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE，AE=1，BF=DH=2，CG=3几何体是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分，所以该几何体的体积利用体积具有分割法即可求得．
点评：此题考查了面面平行的性质定理，平行四边形的判定三垂线定理及直线所成的角，棱锥的体积公式及体积分割的原理．