分析 (1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos(α-$\frac{π}{4}$),利用两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值即可计算得解.
(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式可求cosα,进而可求tanα,利用二倍角的正切函数公式可求tan2β的值,进而利用两角和的正切函数公式可求tan(α+2β)的值.
解答 (本题满分为14分)
解:(1)因为$α∈(0,\frac{π}{2})$,
所以$α-\frac{π}{4}∈(-\frac{π}{4},\frac{π}{4})$,
故$cos(α-\frac{π}{4})=\sqrt{1-{{sin}^2}(α-\frac{π}{4})}=\frac{4}{5}$. …(2分)
所以$sinα=sin[{({α-\frac{π}{4}})+\frac{π}{4}}]=sin(α-\frac{π}{4})cosα+cos(α-\frac{π}{4})sinα$…(5分)
=$\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$. …(6分)
(2)因为$α∈(0,\frac{π}{2})$,由(1)知,$cosα=\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$.…(8分)
所以tanα=7…(9分)
因为$tanβ=\frac{1}{2}$,
所以$tan2β=\frac{2tanβ}{{1-{{tan}^2}β}}=\frac{1}{{1-\frac{1}{4}}}=\frac{4}{3}$. …(12分)
故$tan(α+2β)=\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}=\frac{{7+\frac{4}{3}}}{{1-7×\frac{4}{3}}}=-1$. …(14分)
点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角和的正弦函数公式,特殊角的三角函数值,二倍角的正切函数公式,两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{3}$ | B. | $\frac{π}{6}$ | C. | $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{2}{π}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 7 | B. | 6 | C. | 4 | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2$\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | B?C?A | B. | B?A?C | C. | D?(A∩C) | D. | C∩D=B |
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