Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点M是椭圆上的任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆E的左焦点F₁作直线l交椭圆于P、Q两点，点A为椭圆右顶点，能否存在这样的直线，使，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆的定义、离心率计算公式及a²=b²+c²即可得出；
（II）先对直线l的斜率讨论，把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及向量的数量积运算即可得出．
解答：解：（I）由题意可得，解得．
故椭圆的方程为．
（II）若直线l⊥x轴，则，，
又A（2，0），∴=，，
∴，此时不满足条件，直线l不存在．
当直线l的斜率存在时，设直线ld的方程为：y=k（x+1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立，消去y得到（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴，．
∵，．
∴=（x₁-2）（x₂-2）+k（x₁+1）•k（x₂+1）=3．
∴，
∴，
解得．
∴满足条件的直线l存在，其方程为．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立及根与系数的关系、数量积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．