Question

【题目】已知椭圆过点，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点， 为原点.

①求证： ；

②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明: 为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据椭圆过定点以及椭圆的离心率可得，解得的值，由椭圆的定义可得的值，将的值代入椭圆方程即可得答案；（2）①设过椭圆的上顶点的直线的方程为，与抛物线方程联立，设出点的坐标，由根与系数的关系分析计算的值，由向量数量积的性质可得证明；②直线 与抛物线联立，由韦达定理及平面向量数量积公式可得， 的等量关系，结合点到直线距离公式可得结果.

试题解析：(1) ，所以，又，解得，，

所以椭圆的方程为

（2）①证明：设、，依题意，直线一定有斜率， 的方程为，

联立方程消去得 ，，又，，

②证明：设、，直线的方程为，，，，联立方程消去得 ，

，，

而

由 得

，即. 所以为定值.