Question

12．已知f（x）=-cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值并求函数取得最小值时自变量x的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=-cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
化简：$f（x）=-\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$
令$2x-\frac{π}{6}=2kπ-\frac{π}{2}，k∈Z$，
解得$x=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z$
故当$x∈\left\{{x|x=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z}\right\}$时，函数f（x）的最小值为$-\frac{3}{2}$．
（Ⅱ） 令$t=2x-\frac{π}{6}$，函数y=sint的单调增区间为$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$
∴$y=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$的单调增区间为$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈Z）$

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．