【题目】在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面, 分别是的中点, , .
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)(Ⅲ)在存在一点,使得平面平面,且.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据中位线定理得, ,所以为平行四边形,进而可证平面;
(Ⅱ)建立直角坐标系, ,求解平面的法向量为,设与平面所成角为,利用求解即可;
(Ⅲ)设上存在一点,则,令,求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)证明:取中点,连接.
因为分别是的中点,
所以,且.
因为是矩形, 是中点,
所以, .
所以为平行四边形.
所以.
又因为平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)因为平面,
所以, .
因为四边形是矩形,所以.
如图建立直角坐标系,
所以, , ,
所以, .
设平面的法向量为,
因为,所以.
令,所以,所以.
又因为,
设与平面所成角为,
所以 .
所以与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)因为侧棱底面,
所以只要在上找到一点,使得,
即可证明平面平面.
设上存在一点,则,
所以.
因为,
所以令,即,所以.
所以在存在一点,使得平面平面,且.
科目:高中数学 来源: 题型:
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