Question

求函数y=3-x2+2x+3的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

分析：根据题意，定义域的求解易知为（-∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x-x²换成u，通过二次函数的知识求得u的范围为（-∞，4]，再根据指数函数y=3^u的单调性即可求解
利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，比较f（x₁），f（x₂）的大小，或f（x₁）＜f（x₂）则是增函数；反之则为减函数）证明即可

解答：解：根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x²=4-（x-1）²≤4．
∴y=3^u是u的增函数，
当x=1时，y_max=f（1）=81，而y=3-x2+2x+3＞0．
∴0＜3^u≤3⁴，即值域为（0，81]．
（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3^u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（-∞，1]；
其证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，1]且令x₁＜x₂
则

f(x1)

f(x2)

=3-

x

2 1

+2 x1+3÷3-

x

2 2

+2x2+3 =3-

x

2 1

+2 x1 +3+

x

2 2

-2x2-3=3(

x

2 2

 -

x

2 1

) +2 (x1 -x2)=
3(

x

2 2

 -

x

2 1

) +2(x1 -x2)=3(x1-x2)  (2-x1-x2) 
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，1]
∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0
∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＜0
∴3(x1-x2)  (x1+x2+2)＜1
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴原函数单调增区间为（-∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3^u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．

点评：本题考查了以指数函数为依托，通过换元法进行求解函数值域，另外还有复合函数的单调性问题，属于基础题．