Question

2．已知正项数列{a_n}的前n项的和为S_n，且满足：$2{S_n}={a_n}^2+a{\;}_n$，（n∈N⁺）
（1）求a₁，a₂，a₃的值
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）分别在已知数列递推式中取n=1、2、3，结合a_n＞0求得a₁，a₂，a₃的值；
（2）由$2{S_n}={a_n}^2$+a_n，得$2{S}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}+{a}_{n+1}$，两式作差后，可得{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案．

解答 解：（1）由$2{S_n}={a_n}^2+a{\;}_n$，取n=1，得$2{S}_{1}=2{a}_{1}={{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}$，
∵a_n＞0，得a₁=1，
取n=2，得$2（1+{a}_{2}）={{a}_{2}}^{2}+{a}_{2}$，解得a₂=2，
取n=3，得$2（1+2+{a}_{3}）={{a}_{3}}^{2}+{a}_{3}$，解a₃=3；
（2）∵$2{S_n}={a_n}^2$+a_n，①
∴$2{S}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}+{a}_{n+1}$，②
②-①得 （a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，则a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．