附加题:
连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)?f(y)成立,且f(x)不是常数函数.
(Ⅰ)求证:对于任意x∈R,都有f(x)>0;
(Ⅱ)求证:对于任意x∈Q,都有f(x)=[f(1)]x;
(Ⅲ)设f(1)=a,求证:对于任意x∈R,都有f(x)=ax.
证明:(I)假设设f(x)<0,
∵x、y∈R,则f(x+y)<0
f(x).f(y)>0,
与f(x+y)=f(x).f(y)矛盾,
∴f(x)>0
(II)对任意x,f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1,即f(-x)=
=[f(x)]
-1
可以推出:f(m)=f(1+1+…+1)=[f(1)]
m,m为正整数.
f(1)=f(
+
+…+
)=[f(
)]
n,f(
)=
,n为正整数.
设x=
,m、n为整数.
f(x)=f(
)=
=[f(x)]
x(III)设x为任意实数,则存在一系列有理数(可能是无穷多个)x
1、x
2、x
3、…
使得x=x
1+x
2+x
3+…
∵f(x+y)=f(x)?f(y)
所以,f(x)=f(x
1+x
2+x
3+…)=a
x1•a^
x2•a
x3•…=a
(x1+x2+x3+…)=a
x 分析:(I)利用反证法证明,先假设f(x)<0,然后推出与已知条件矛盾,即可得以证明;
(II)首先得出f(0)=1即可得出f(-x)=
=[f(x)]
-1,然后推出f(1)=f(
+
+…+
)=[f(
)]
n,f(
)=
,再设x=
即可得出结论.
(III)设x=x
1+x
2+x
3+…,然后根据条件得出f(x)=f(x
1+x
2+x
3+…)=a
x1•a^
x2•a
x3•…=a
(x1+x2+x3+…)=a
x.
点评:本题考查了函数恒成立问题以及函数的值域,对于有些从正面证明较复杂的问题可以采取反证法,使得问题简单化.