精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

附加题:
连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)?f(y)成立,且f(x)不是常数函数.
(Ⅰ)求证:对于任意x∈R,都有f(x)>0;
(Ⅱ)求证:对于任意x∈Q,都有f(x)=[f(1)]x
(Ⅲ)设f(1)=a,求证:对于任意x∈R,都有f(x)=ax

证明:(I)假设设f(x)<0,
∵x、y∈R,则f(x+y)<0
f(x).f(y)>0,
与f(x+y)=f(x).f(y)矛盾,
∴f(x)>0
(II)对任意x,f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1,即f(-x)==[f(x)]-1
可以推出:f(m)=f(1+1+…+1)=[f(1)]m,m为正整数.
f(1)=f(++…+)=[f()]n,f()=,n为正整数.
设x=,m、n为整数.
f(x)=f()==[f(x)]x
(III)设x为任意实数,则存在一系列有理数(可能是无穷多个)x1、x2、x3、…
使得x=x1+x2+x3+…
∵f(x+y)=f(x)?f(y)
所以,f(x)=f(x1+x2+x3+…)=ax1•a^x2•ax3•…=a(x1+x2+x3+…)=ax
分析:(I)利用反证法证明,先假设f(x)<0,然后推出与已知条件矛盾,即可得以证明;
(II)首先得出f(0)=1即可得出f(-x)==[f(x)]-1,然后推出f(1)=f(++…+)=[f()]n,f()=,再设x=即可得出结论.
(III)设x=x1+x2+x3+…,然后根据条件得出f(x)=f(x1+x2+x3+…)=ax1•a^x2•ax3•…=a(x1+x2+x3+…)=ax
点评:本题考查了函数恒成立问题以及函数的值域,对于有些从正面证明较复杂的问题可以采取反证法,使得问题简单化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

附加题:
连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)?f(y)成立,且f(x)不是常数函数.
(Ⅰ)求证:对于任意x∈R,都有f(x)>0;
(Ⅱ)求证:对于任意x∈Q,都有f(x)=[f(1)]x
(Ⅲ)设f(1)=a,求证:对于任意x∈R,都有f(x)=ax

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

附加题:
连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)?f(y)成立,且f(x)不是常数函数.
(Ⅰ)求证:对于任意x∈R,都有f(x)>0;
(Ⅱ)求证:对于任意x∈Q,都有f(x)=[f(1)]x
(Ⅲ)设f(1)=a,求证:对于任意x∈R,都有f(x)=ax

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2004-2005学年浙江省杭州市源清中学高二(上)12月月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

附加题:
连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)?f(y)成立,且f(x)不是常数函数.
(Ⅰ)求证:对于任意x∈R,都有f(x)>0;
(Ⅱ)求证:对于任意x∈Q,都有f(x)=[f(1)]x
(Ⅲ)设f(1)=a,求证:对于任意x∈R,都有f(x)=ax

查看答案和解析>>

同步练习册答案