(Ⅰ)解:由2p=
,∴p=
,∴抛物线
的准线方程为
.
故
,
,
∴椭圆方程可化为
,又椭圆过点M(2,1),
∴
,则a
4-8a
2+12=0,
∵a
2>3,解得:a
2=6.
∴所求椭圆的方程为
.
(Ⅱ)证明:①若直线l⊥x轴,直线l可设为x=m(m≠2),则直线l与椭圆交于
,
,
由
,得
,
即3m
2-8m+4=0.
解得:m=2(舍)或
,
故直线l的方程为
.
②若直线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+n.
直线l与椭圆
交于A(x
1,y
1),B(x
2,y
2).
由
?(1+2k
2)x
2+4knx+2n
2-6=0.
由△>0,得:(4kn)
2-4(1+2k
2)(2n
2-6)>0,即6k
2-n
2+3>0.
由根与系数关系得:
,
.
由
得:(x
1-2)(x
2-2)+(y
1-1)(y
2-1)=0,
即x
1x
2-2(x
1+x
2)+y
1y
2-(y
1+y
2)+5=0,
又y
1=kx
1+n,y
2=kx
2+n,
故
,
即
.
∴4k
2+8kn+(3n+1)(n-1)=0,即(2k+3n+1)(2k+n-1)=0.
∴
或n=-2k+1.
而
或n=-2k+1满足△>0.
∴直线l为
或y=kx-2k+1=k(x-2)+1.
由于直线l不过M,∴直线y=kx-2k+1=k(x-2)+1不合题意.
∴直线l为
.
综合①②,直线l为为
或
.
故直线l恒过定点
.
分析:(Ⅰ)由抛物线方程写出其准线方程,从而求出椭圆焦点坐标,把点M的坐标代入椭圆方程后,结合a
2=b
2+c
2可求椭圆方程;
(Ⅱ)分直线l垂直于坐标轴和不垂直坐标轴两种情况进行讨论,直线垂直坐标轴时,把直线方程代入椭圆方程求出A,B的坐标,由
•
=0解出m的值,直线不垂直坐标轴时,设出直线方程的斜截式,和椭圆方程联立后由判别式大于0得到直线斜率和在y轴上的截距满足的关系式,再由
•
=0把直线的截距用斜率表示,代回直线方程后由线系方程可得直线恒过定点.
点评:本题考查了椭圆标准方程的求法,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,考查了分类讨论的数学思想,证明直线l恒过定点时,综合考查了向量知识、直线系方程及学生的运算能力,此题属难题.