精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
2.已知命题p:?x∈[0,1],使${({\frac{1}{2}})^{x-1}}-m≥0$恒成立,命题$q:?x∈[{-\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$,使函数$f(x)=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零点,若命题“p∧q”是真命题,求实数m的取值范围.

分析 命题p:当x∈[0,1]时,$1≤{({\frac{1}{2}})^{x-1}}≤2$,要使${({\frac{1}{2}})^{x-1}}-m≥0$恒成立,需满足m≤$[(\frac{1}{2})^{x-1}]_{min}$.命题q:$f(x)=\sqrt{3}sinx+cosx-m=2sin({x+\frac{π}{6}})-m$,当$x∈[{-\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$时,$0≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$,$0≤2sin({x+\frac{π}{6}})≤2$,要使$?x∈[{-\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$,函数$f(x)=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零点,即可得出m的取值范围.因为命题“p∧q”为真命题,所以p真,q真,进而得出.

解答 解:命题p:当x∈[0,1]时,$1≤{({\frac{1}{2}})^{x-1}}≤2$,要使${({\frac{1}{2}})^{x-1}}-m≥0$恒成立,需满足m≤1;
命题q:$f(x)=\sqrt{3}sinx+cosx-m=2sin({x+\frac{π}{6}})-m$,当$x∈[{-\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$时,$0≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$,$0≤2sin({x+\frac{π}{6}})≤2$,要使$?x∈[{-\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$,函数$f(x)=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零点,需满足0≤m≤2,
因为命题“p∧q”为真命题,所以p真,q真,
所以0≤m≤1.

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

12.函数y=(x-2)a+1(a∈R)恒过定点(3,2).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

13.函数$y=\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}$的最大值是4.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

10.若不等式x2+ax+b<0的解集为(-3,-1),则不等式bx2+ax+1≤0的解集为[-1,-$\frac{1}{3}$].

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在CDD1C1所在的平面上,满足∠PBD1=∠A1BD1,则动点P的轨迹是(  )
A.B.椭圆C.双曲线D.抛物线

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.已知x,y满足约束条件:$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≥1}\\{y≥0}\end{array}\right.$,则x+4y的最小值为1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AB,E是PC的中点.
证明:PD⊥平面ABE.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1,x≥0\\ 3{x^2}-4,x<0\end{array}\right.$,求f(-1)=(  )
A.-2B.-1C.1D.0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.若过(2,0)且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程是(  )
A.2x-y+1=0B.2x-y-4=0C.x+2y-2=0D.x+2y-4=0

查看答案和解析>>

同步练习册答案