Question

在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是

1. A.
   2πr
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个 圆即可解决．
解答：解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，
内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的
一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，
例如动点从A到S，再到C，到B回到A，
∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，
则经过的最短路程为：一个半圆一个 圆，
即：=
故选B．
点评：本题考查球的内接多面体，球面距离，考查空间想象能力，是中档题．解答的关键是从整体上考虑球面距离的计算．