【题目】设,其中.
(1)当q=1时,化简:;
(2)当q=n时,记,试比较与的大小.
【答案】(1) (2) 当n=1,2时,;当时,
【解析】
(1) 当q=1时,,从而得到结果;
(2) 当q=n时,由二项式定理可得,猜想、归纳,用数学归纳法加以证明即可.
(1)当q=1时,,
由于
,
其中.
所以原式
(2)【解法一】当q=n时,,
所以,所以,
令x=1,得,
当n=1,2时,;当时,,即.
下面先用数学归纳法证明:当时,,……(☆)
①当n=3时,,(☆)式成立;
②设时,(☆)式成立,即,
则时,(☆)式右边
.
这就是说,当,(☆)式也成立.
综合①②知,当时,.
所以,当n=1,2时,;当时,
【解法二】
当q=n时,,
所以,所以,
令x=1,得,.
要比较与的大小,即可比较与的大小,
设,则,
由,得,所以在上递增,
由,得,所以在上递减,
所以当n=1,2时,,
当时,,即,
即,即,
综上所述,当n=1,2时,;当时,.
【解法三】
当q=n时,,
所以,所以,
令x=1,得,
当n=1,2时,;当时,.
下面用数学归纳法证明:,,,……(*)
①当n=3时,,因为,所以(*)式成立;
②设时,(*)式成立,即有,
所以(因为).
又因为,即,
所以,
即,所以,当时,(*)式也成立.
综合①②,对任何,都成立.
所以,当n=1,2时,;当时,.
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【题目】用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一,计数形式有纵式和横式两种,如图1所示.金元时期的数学家李治在《测圆海镜》中记载:用“天元术”列方程,就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”,即是一种用数学符号列方程的方法,“立天元一为某某”,意即“设为某某”.如图2所示的天元式表示方程,其中表示方程各项的系数,均为筹算数码,在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字,“太”或“元”向上每层减少一次幂,向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料,判断图3所示的天元式表示的方程是________________
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【题目】某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关,随机抽取了30名男性和30名女性观众,抽查结果用等高条形图表示如图:
喜欢节目A | 不喜欢节目A | 总计 | |
男性观众 | |||
女性观众 | |||
总计 |
(1)根据该等高条形图,完成右上列联表,并用独立性检验的方法分析,则在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关?
(2)从男性观众中按喜欢节目与否,用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查.从这5名中任选2名,求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.00 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】如图,某公园内有一块矩形绿地区域ABCD,已知AB=100米,BC=80米,以AD,BC为直径的两个半圆内种植花草,其它区域种值苗木. 现决定在绿地区域内修建由直路BN,MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路,其中直路MN与绿地区域边界AB平行,直路为水泥路面,其工程造价为每米2a元,弧形路为鹅卵石路面,其工程造价为每米3a元,修建的总造价为W元. 设.
(1)求W关于的函数关系式;
(2)如何修建道路,可使修建的总造价最少?并求最少总造价.
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【题目】某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间内,其频率分布直方图如图.
(Ⅰ)求获得复赛资格的人数;
(Ⅱ)从初赛得分在区间的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流,那么从得分在区间与各抽取多少人?
(Ⅲ)从(Ⅱ)抽取的人中,选出人参加全市座谈交流,设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数,求的分布列及数学期望E(X).
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【题目】随着移动支付的普及,中国人的生活方式正悄然巨变,带智能手机,不带钱包出门还渐成为中国人的新习惯年我国移动支付增长迅猛,据统计,某支付平台2017年移动支付的笔数占总支付笔数的.
Ⅰ从该支付平台2017年的所有支付中任取10笔,求移动支付笔数的期望和方差;
Ⅱ现有500名使用该支付平台的用户,其中300名是城市用户,200名是农村用户,调查他们2017年个人移动支付的比例是否达到了,得到列联表如下:
个人移动支付达到了 | 个人移动支付达到了 | 合计 | |
城市用户 | 270 | 30 | 300 |
农村用户 | 170 | 30 | 200 |
合计 | 440 | 60 | 500 |
根据上表数据,问是否有的把握认为2017年个人移动支付比例达到了与该用户是城市用户还是农村用户有关?
附:
k |
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【题目】在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数,统计结果如下表(注:指数值越高素质越优秀):
(1)求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程;
(2)企业为提高员工的艺术爱好指数,要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训,培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为,培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为,其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训,艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训,在他们都培训了20次后,估计谁的创新灵感指数更高?
参考公式:回归方程中,,.
参考数据:,
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为,过点的直线l的参数方程为(为参数),直线l与曲线C交于M、N两点。
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程:
(2)若成等比数列,求a的值。
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