Question

直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的

3

2

，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+

2

）π，则旋转体的体积为（　　）

• A、2π
• B、

  4+ 2

  3

  π
• C、

  5+ 2

  3

  π
• D、

  7

  3

  π

Answer 1

分析：由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．

解答：解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，
圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．
设上底为x，则下底为

3

2

x，直角腰为

1

2

x，另一腰为整个面积式子为

1

4

πx2+πx2+

2

×

1

4

πx2=(5+

2

)π，
解得x=±2，因为x＞0，所以x=-2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，
圆柱体积=Sh=

1

2

 π r2h=π×1²×2=2π，圆锥体积=

1

3

π
所以整个几何体的体积为

7

3

π．
故选D．

点评：本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．