Question

已知f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R），若f（x）满足f（-x）=-f（x），
（1）求实数a的值；        
（2）判断函数的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0可得a值；（2）可得函数为增函数，用定义法证明即可．

解答：解：（1）由题意可取x=0代入可得f（0）=-f（0），即f（0）=0，
故f(0)=

a•20+a-2

20+1

=a-1=0，解得a=1；
（2）由（1）知，函数f(x)=

2x-1

2x+1

，可得函数为R上的增函数，
证明如下：?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
故

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数为R上的增函数

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，以及属的奇偶性，属基础题．