Question

已知圆M:(x-)²+y²=,若椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为.

(1)求椭圆C的方程.

(2)已知直线l:y=kx,若直线l与椭圆C分别交于A,B两点,与圆M分别交于G,H两点(其中点G在线段AB上),且|AG|=|BH|,求k的值.

Answer 1

【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,

因为a=,=,所以c=1,

所以b=1,所以椭圆C:+y²=1.

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由直线l与椭圆C交于两点A,B,

则所以(1+2k²)x²-2=0,

则x₁+x₂=0,x₁x₂=-,

所以|AB|==,

点M(,0)到直线l的距离d=,

则|GH|=2,

显然,若点H也在线段AB上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴,矛盾,

因为|AG|=|BH|,所以|AB|=|GH|.

所以=4,

得k²=1,解得k=±1.