Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2（a_n-1）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的 通项公式；
（2）设b_n=lna_n（n∈N^*），试求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过在S_n=2（a_n-1）中令n=1可知a₁=2，利用a_n+1=S_n+1-S_n化简可知a_n+1=2a_n，进而可知数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=nln2（n∈N^*），裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=2（a_n-1），
∴S₁=2（a₁-1），即a₁=2，
又∵S_n+1=2（a_n+1-1），
∴a_n+1=2（a_n+1-1）-2（a_n-1），
整理得：a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=lna_n=ln2ⁿ=nln2（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）（ln2）^{2}}$=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$[$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$]．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形、裂项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．