Question

【题目】已知设函数f（x）=loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=loga（1+2x）﹣（loga（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．

其定义域满足 ，解得：

故得f（x）的定义域为{x| }

（2）解：由（1）可知f（x）的定义域为{x| }，关于原点对称．

又∵f（﹣x）=loga（1﹣2x）﹣（loga（1+2x）=﹣f（x）

∴f（x）为奇函数

（3）解：f（x）＞0，即loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）＞0，loga（1+2x）＞loga（1﹣2x）

当a＞1时，原不等式等价为：1+2x＞1﹣2x，解得：x＞0．

当0＜a＜1时，原不等式等价为：1+2x＜1﹣2x，解得：x＜0．

又∵f（x）的定义域为（ ， ）．

所以使f（x）＞0的x的取值范围，当a＞1时为（0， ）；当0＜a＜1时为（ ，0）

【解析】（1）根据对数函数的真数要大于0列不等式组求解定义域．（2）利用定义判断函数的奇偶性．（3）f（x）＞0，即loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）＞0，对底数a讨论，求解x的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．