精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为4,M、N是椭圆上的的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:,直线的斜率之积为,证明:存在定点使
为定值,并求出的坐标;
(3)若在第一象限,且点关于原点对称,垂直于轴于点,连接 并延长交椭圆于点,记直线的斜率分别为,证明:.
(1);(2)存在使得;(3)证明过程详见试题解析.

试题分析:(1)由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合求出椭圆中的,再由,求出所求椭圆方程为;(2)先设,由,结合椭圆的标准方程可以得到使得为定值;(3)要证明就是要考虑,详见解析.
试题解析:(1)由题设可知:因为抛物线的焦点为
所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得
   
故椭圆的标准方程为: 
(2)设
可得:
   
由直线OM与ON的斜率之积为可得:
 ,即  
由①②可得: 
M、N是椭圆上的点,故
,即 
由椭圆定义可知存在两个定点
使得动点P到两定点距离和为定值;
(3)设,由题设可知 
由题设可知斜率存在且满足.
  
将③代入④可得:
在椭圆
  
  
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为的直线过点.
(1)求该椭圆的方程;
(2)设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知分别是椭圆的左,右顶点,点在椭圆 上,且直线与直线的斜率之积为

(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆上除长轴端点外的任一点,直线与椭圆的右准线分别交于点
①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
②已知常数,求的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

椭圆的焦点分别为,点在椭圆上,如果线段的中点在轴上,那么               

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=sin+cosg(x)=2sin2.
(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知两定点A(1,1),B(-1,-1),动点P(x,y)满足·,则点P的轨迹是(  )
A.圆B.椭圆C.双曲线D.拋物线

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若C(-,0),D(,0),M是椭圆+y2=1上的动点,则的最小值为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

椭圆=1(ab>0)的左、右焦点分别是F1F2,过F1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M,若MF2垂直于x轴,则椭圆的离心率为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知点分别是椭圆为的左、右焦点,过点轴的垂线交椭圆的上半部分于点,过点作直线的垂线交直线于点,若直线与双曲线的一条渐近线平行,则椭圆的离心率为(    )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案