Question

若A₁，A₂，…，A_m为集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且满足两个条件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②对任意的{x，y}⊆A，至少存在一个i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}．则称集合组A₁，A₂，…，A_m具有性质P．
如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为akl=n=7．

a11	a12	…	a1m
a21	a22	…	a2m
…	…	…	…
an1	an2	…	anm

（Ⅰ）当n=4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；
集合组1：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合组2：A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}．
（Ⅱ）当n=7时，若集合组A₁，A₂，A₃具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）当n=100时，集合组A₁，A₂，…，A_t是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的个数）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由集合组1具有性质P，所对应的数表知集合组2不具有性质P，因为存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，有A_i∩{x，y}={x}或{y}矛盾，所以集合组A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}不具有性质P．
（Ⅱ）由题意得：A₁={3，4，5，7}，A₂={2，4，6，7}，A₃={1，5，6，7}．
（Ⅲ）设A₁，A₂，…，A_t所对应的数表为数表M，因为集合组A₁，A₂，…，A_t为具有性质P的集合组，所以集合组A₁，A₂，…，A_t满足条件①和②，下面详细分析条件①和②，求得t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．
解答：解：（Ⅰ）解：集合组1具有性质P．…（1分）
所对应的数表为：
集合组2不具有性质P．…（4分）
因为存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，
有{2，3}∩A₁={2，3}，{2，3}∩A₂={2，3}，{2，3}∩A₃=∅，
与对任意的{x，y}⊆A，都至少存在一个i∈{1，2，3}，有A_i∩{x，y}={x}或{y}矛盾，所以集合组A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}不具有性质P．…（5分）
（Ⅱ）
A₁={3，4，5，7}，A₂={2，4，6，7}，A₃={1，5，6，7}．…（8分）
（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）
（Ⅲ）设A₁，A₂，…，A_t所对应的数表为数表M，
因为集合组A₁，A₂，…，A_t为具有性质P的集合组，
所以集合组A₁，A₂，…，A_t满足条件①和②，
由条件①：A₁∪A₂∪…∪A_t=A，
可得对任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有x∈A_i，
所以a_xi=1，即第x行不全为0，
所以由条件①可知数表M中任意一行不全为0．…（9分）
由条件②知，对任意的{x，y}⊆A，都至少存在一个i∈{1，2，3，…，t}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}，所以a_xi，a_yi一定是一个1一个0，即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同．
所以由条件②可得数表M中任意两行不完全相同．…（10分）
因为由0，1所构成的t元有序数组共有2^t个，去掉全是0的t元有序数组，共有2^t-1个，又因数表M中任意两行都不完全相同，所以100≤2^t-1，
所以t≥7．
又t=7时，由0，1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P．
所以t=7．…（12分）
因为|A₁|+|A₂|+…+|A_t|等于表格中数字1的个数，
所以，要使|A₁|+|A₂|+…+|A_t|取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，
而t=7时，在数表M中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多C₇²=21行；1的个数为3的行最多C₇³=35行；1的个数为4的行最多C₇⁴=35行；
因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，
所以此时表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2=304个1．
所以|A₁|+|A₂|+…+|A_t|的最小值为304．…（14分）
点评：本小题主要考查交、并、补集的混合运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．