分析 (Ⅰ)通过$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0,可得|NA|=|NM|,利用等量代换可得|CN|+|AN|=2$\sqrt{2}$,进而计算即得结论;
(Ⅱ)通过F1,E,A三点共线及半圆所对的圆周角为直角及圆E过(x,0),计算可得c=$\sqrt{2}$,利用勾股定理可得$|A{F}_{2}{|}^{2}$=1,进而计算可得结论.
解答 解:(Ⅰ)∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$,$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0,
∴NP为AM的垂直平分线,
∴|NA|=|NM|.
又∵|CN|+|NM|=2$\sqrt{2}$,
∴|CN|+|AN|=2$\sqrt{2}$>2,
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,
且椭圆长轴长为2a=2$\sqrt{2}$,焦距2c=2,
∴a=$\sqrt{2}$,c=1,b2=a2-c2=1,
∴曲线E的方程为:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(Ⅱ)如图,圆E经过椭圆C的左、右焦点F1、F2,
∵F1,E,A三点共线,
∴F1A为圆E的直径,
∴AF2⊥F1F2,
∵x2+(0-$\frac{1}{2}$)2=$\frac{9}{4}$,
∴x=±$\sqrt{2}$,∴c=$\sqrt{2}$,
∴$|A{F}_{2}{|}^{2}$=$|A{F}_{1}{|}^{2}$-$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$=9-8=1,
∴2a=F1A+AF2=4,
∵a2=b2+c2,
∴a=2,b=$\sqrt{2}$,
∴椭圆C的方程为:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$.
点评 本题考查求椭圆的方程,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
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A. | -1 | B. | 0 | C. | 1 | D. | 2 |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | -$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
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