Question

20．（Ⅰ）如图1所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0的轨迹为曲线E．求曲线E的方程．
（Ⅱ）如图2所示，已知圆 E：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$经过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁、F₂，且与椭圆C在第一象限的交点为 A，且F₁，E，A三点共线． 求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，可得|NA|=|NM|，利用等量代换可得|CN|+|AN|=2$\sqrt{2}$，进而计算即得结论；
（Ⅱ）通过F₁，E，A三点共线及半圆所对的圆周角为直角及圆E过（x，0），计算可得c=$\sqrt{2}$，利用勾股定理可得$|A{F}_{2}{|}^{2}$=1，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，
∴NP为AM的垂直平分线，
∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=2$\sqrt{2}$，
∴|CN|+|AN|=2$\sqrt{2}$＞2，
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，
且椭圆长轴长为2a=2$\sqrt{2}$，焦距2c=2，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，b²=a²-c²=1，
∴曲线E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F₁、F₂，
∵F₁，E，A三点共线，
∴F₁A为圆E的直径，
∴AF₂⊥F₁F₂，
∵x²+（0-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，
∴x=±$\sqrt{2}$，∴c=$\sqrt{2}$，
∴$|A{F}_{2}{|}^{2}$=$|A{F}_{1}{|}^{2}$-$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$=9-8=1，
∴2a=F₁A+AF₂=4，
∵a²=b²+c²，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查求椭圆的方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．