Question

17．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t-a}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设点P（0，-a），若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA||PB|=2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得ρ²=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程，直线l的参数方程中消去参数t，能求出直线l的普通方程．
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\\{x-y-a=0}\end{array}\right.$，得：2x²-（2a+2）x+a²=0，由此利用韦达定理能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x=0．
∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t-a}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程为x-y-a=0．
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\\{x-y-a=0}\end{array}\right.$，消去y，得：2x²-（2a+2）x+a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=a+1，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{PA}$=（x₁，y₁+a）=（x₁，x₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂，y₂+a）=（x₂，x₂），
∵|PA||PB|=2，∴$|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$=2x₁x₂=a²=2，解得a=$±\sqrt{2}$．（舍a=-$\sqrt{2}$）
∴实数a的值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程和直线的普通方程的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．