Question

如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（2）求平面OAB与平面OCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

略

解：作AP⊥CD于点P，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，，0)，D(－，，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)．

z

O

（1）＝(1，0，0)，＝(－，，－1)，则cos＜，＞＝－，

故AB与MD所成角为．            …………………4分
（2）＝(0，，－2)，＝(－，，－2)，
设平面OCD法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，
即，取z＝，则n＝(0，4，)． ……………………6分
易得平面OAB的一个法向量为m＝(0，1，0)，
cos＜n，m＞＝，                               ……………………9分
故平面OAB与平面OCD所成二面角的平面角余弦值为．………………10分