Question

函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=

2

x

-1
（1）求f（-1）的值；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）求当x＜0时，函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用偶函数的性质可得，f（-1）=f（1），把x=1代入当x＞0时，函数的解析式求值．
（2）设a＞b＞0，化简f（a）-f（b）到因式乘积的形式，判断符号，根据增减函数的定义做出判断．
（3）设x＜0，则-x＞0，利用x＞0时，函数的解析式，求出 f（-x）的解析式，再利用偶函数的定义求即得x＜0时的解析式．

解答：解：（1）f（-1）=f（1）=2-1=1．
（2）证明：设a＞b＞0，f（a）-f（b）=（

2

a

-1）-（

2

b

-1）=

2(b-a)

ab

，
由a＞b＞0知，

2(b-a)

ab

＜0，∴f（a）＜f（b），∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=

2

-x

-1=f（x），
∴f（x）=

2

-x

-1，即当x＜0时，函数的解析式为 f（x）=

2

-x

-1．

点评：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，证明函数的单调性，以及求函数的解析式的方法．