Question

定义在(0，+∞)内的函数f(x),对任意的x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),当且仅当x＞1时f(x)＞0成立.

(1)设x,y∈(0,+∞),求证：f()=f(y)-f(x);

(2)设x₁,x₂∈(0,+∞),f(x₁)＞f(x₂),试比较x₁,x₂的大小；

(3)解不等式f()＞f(a^x-3)(0＜a＜1).

Answer 1

分析：有关抽象函数的不等式其实就是研究抽象函数的单调性，在把抽象函数不等式转化为普通不等式时，不能忘记抽象函数的定义域要求.

解析：(1)∵f(x)+f(y)=f(xy),

∴f()+f(x)=f(·x)=f(y),

∴f()=f(y)-f(x).

(2)∵f(x₁)＞f(x₂)f(x₁)-f(x₂)＞0

f()＞0＞1x₁＞x₂,

∴x₁＞x₂.

(3)由(2)知，f()＞f(a^x-3)等价于

3＜a^x＜5log_a3＞x＞log_a5.

∴原不等式的解集为(log_a5,log_a3)(0＜a＜1).