Question

【题目】设函数f（x）=|ax﹣x2|+2b（a，b∈R）．
（1）当a=﹣2，b=﹣ 时，解方程f（2x）=0；
（2）当b=0时，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a为常数，且函数f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣2，b=﹣ 时，f（x）=|x2+2x|﹣15，所以方程即为：|2x（2x+2）|=15

解得：2x=3或2x=﹣5（舍），所以x=

（2）解：当b=0时，若不等式：x|a﹣x|≤2x

在x∈[0，2]上恒成立；

当x=0时，不等式恒成立，则a∈R；

当0＜x≤2时，则|a﹣x|≤2，

在[0，22]上恒成立，即﹣2≤x﹣a≤2在（0，2]上恒成立，

因为y=x﹣a在（0，2]上单调增，ymax=2﹣a，ymin=﹣a，则 ，解得：0≤a≤2；

则实数a的取值范围为[0.2]

（3）解：函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解；

设h（x）=

当a≤0时，则h（x）=x2﹣ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上单调增，

所以h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，

则当 0≤﹣2b≤4﹣2a时，原方程有解，则a﹣2≤b≤0；

当a＞0时，h（x）= ，

h（x）在[0， ]上单调增，在[ ]上单调减，在[a，+∞）上单调增；

①当 ，即a≥4时，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，

则当则当0≤﹣2b≤2a﹣4时，原方程有解，则2﹣a≤b≤0；

②当 ，即2≤a＜4时，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（ ）= ，

则当0≤﹣2b≤ 时，原方程有解，则﹣ ；

③当0＜a＜2时，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=max{h（2），h（ ）=max{4﹣2a， }

当 ，即当﹣4+4 ≤a＜2时，h（x）max=

，则当0≤﹣2b≤ 时，原方程有解，则 ；

当 ，即则0 时，h（x）max=4﹣2a，

则当0≤﹣2b≤4﹣2a时，原方程有解，则a﹣2≤b≤0；

综上，当0＜a＜﹣4+4 时，实数b的取值范围为[a﹣2，0]；

当﹣4+4 ≤a＜4时，实数b的取值范围为[ ]；

当a≥4时，实数b的取值范围为[2﹣a，0]

【解析】（1）解：（1）原方程即为：|2x（2x+2）|=15，解得2x即可，（2）不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，及（f（x）﹣2x）max≤在x∈[0，2]上恒成立即可‘（3）函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解，分类求出设h（x）= 的值域即可．