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    当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
    （1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
    （2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
    （3）第n年时，兔子数量Rn用表示，狐狸数量用Fn表示；
    （4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只．
    请用所学知识解决如下问题：
    （1）列出兔子与狐狸的生态模型；
    （2）求出Rn、Fn关于n的关系式；
    （3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．
    分析：（1）根据兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍，可得
    Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1
    Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1
    (n≥1)
    （2）利用矩阵，求出矩阵的特征多项式，从而可求矩阵的特征值、特征向量，由此可求Rn、Fn关于n的关系式；
    （3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn，Fn分别趋向于常量210，140．由此可知，时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．
    解答：解：（1）∵兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍
    ∴
    Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1
    Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1
    (n≥1)    …4’
    （2）设
    αn
    =
    Rn
    Fn
    ，M=
    1.1
    0.1
    -0.15
    0.85

    ∴
    αn
    =M
    αn-1
    =M(M
    αn-2
    )    =…=Mn
    α∞

    又矩阵M的特征多项式f(λ)=
    .
    λ-1.1
    -0.1
    0.15
    λ-0.85
    .
    =λ2-1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）
    令f（λ）=0得：λ1=1，λ2=0.95
    特征值λ1=1对应的一个特征向量为
    α1
    =
    3
    2

    特征值λ2=0.95对应的一个特征向量为
    α2
    =
    1
    1
    …6’
    且
    α0
    =
    100
    30
    =70
    3
    2
    -110
    1
    1
    =70
    α1
    -110
    α2

    ∴
    αn
    =Mnα0=70
    λ
    n
    1
    α1
    -110
    λ
    n
    2
    α2
    =70
    3
    2
    -110•0.95n
    1
    1
    =
    210-110•0.95n
    140-110•0.95n

    ∴
    Rn=210-110•0.95n
    Fn=140-110•0.95n
    …14’
    （3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn，Fn分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．…2’
    点评：本题以实际问题为载体，考查矩阵的运用，考查特征值与特征向量，考查利用数学知识解决实际问题．
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    (1)列出兔子与狐狸的生态模型(Rn、Fn的关系式)；

    (2)求出Rn、Fn关于n的关系式；

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    （1）列出兔子与狐狸的生态模型（、的关系式）；

    （2）求出、关于n的关系式；

    （3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。

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