Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，M，N分别为PA，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD的中点E，连接ME，CE，证明边形MNCE是平行四边形，可得MN∥CE，利用线面平行的判定定理可得MN∥平面PCD；
（Ⅱ）MN与平面PAC所成角等于EC与平面PAC所成角，求出E到平面PAC的距离，即可求MN与平面PAC所成角的正切值．

解答：（Ⅰ）证明：取PD的中点E，连接ME，CE，则ME∥AD，ME=

1

2

AD，
∵N为BC的中点，BC∥AD，∴ME∥CN，ME=CN，
∴四边形MNCE是平行四边形，
∴MN∥CE，
∵MN?平面PCD，CE?平面PCD，
∴MN∥平面PCD；
（Ⅱ）解：过E作平面PAC的垂线，垂足为O，则
由（Ⅰ）知，MN与平面PAC所成角等于EC与平面PAC所成角，
∵D到平面PAC的距离为

2

，
∴E到平面PAC的距离为

2

2

，
∵CE=

2+4

=

6

，
∴CO=

6- 1 2

=

22

2

∴MN与平面PAC所成角的正切值为

11

11

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，正确运用线面平行的判定定理是关键．