Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+

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2

满足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=

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2

-x有等根
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）在定义域（-1，t]上的值域为（-1，1]，求t的取值范围；
（3）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）因为二次函数的对称轴方程为x=1，且（1）中求出的二次函数开口向下，所以对t进行分类讨论，当t≤1时，函数在（-1，t]上为增函数，函数的最大值为f（t），由f（t）=1求t的值，当1＜t＜3时，函数的最大值为f（1），看f（1）是否等于1，当t≥3时，函数有最小值，与题意不符；
（3）由（1）中函数的解析式，若f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，我们分n≤1，m≥1，及m＜1、n＞1三种情况讨论，根据函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a

，∴-

b

2a

=1．①
又f（x）=

5

2

-x有等根，即ax²+（b+1）x-2=0有等根，∴△=（b+1）²+8a=0．②
由①，②得 b=1，a=-

1

2

．
∴f（x）=-

1

2

x²+x+

1

2

．
（2）∵函数f（x）=-

1

2

x²+x+

1

2

的对称轴方程为x=1，
若t≤1，f（x）在（-1，t]上为增函数，此时f(-1)=-

1

2

(-1)2+(-1)+

1

2

=-1
由f(t)=-

1

2

t2+t+

1

2

=1，得：（t-1）²=0，∴t=1
若1＜t＜3，则f(x)max=f(1)=-

1

2

×12+1+

1

2

=1
若t≥3，f（x）_min=f（t），与题意不符
所以f（x）在定义域（-1，t]上的值域为（-1，1]的t的取值范围是[1，3）．
（3）如果存在满足要求的m，n（m＜n）使得f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，
那么当m＜n≤1时，有

f(m)=2m f(n)=2n

，即

- 1 2 m2+m+ 1 2 =2m - 1 2 n2+n+ 1 2 =2n

，解得：m=-1-

2

，n=-1+

2

当1≤m＜n时，有

f(m)=2n f(n)=2m

，即

- 1 2 m2+m+ 1 2 =2n - 1 2 n2+n+ 1 2 =2m

，次方程无解
当m＜1，n＞1时，由f（x）_max=f（1）=1=2n，得：n=

1

2

，不合题意，
所以存在实数m=-1-

2

，n=-1+

2

，使f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]．

点评：本题考查考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数定义域及值域的求法，重点考查了分类讨论的数学思想，对于存在性问题可先假设其存在，然后推出正确的解答或得出矛盾．