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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
过点(
3
2
2
)
,它的离心率为
6
2
,P、Q分别在双曲线的两条渐近线上,M是线段PQ中点,|PQ|=2
2

(Ⅰ)求双曲线及其渐近线方程;
(Ⅱ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅲ)过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B,F2为C的右焦点,求△ABF2面积最大时
F2A
F2B
的值.
(Ⅰ)∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
过点(
3
2
2
)
,它的离心率为
6
2

3
a2
-
1
2b2
=1
,且
a2+b2
a2
=(
6
2
)2

解得a2=2,b2=1,
∴双曲线方程是
x2
2
-y2=1

它的渐近线方程是y=
1
2
x,y=-
1
2
x
.…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,不妨设P(x1
x1
2
),Q(x2,-
x2
2
)

设M(x,y),则有x1+x2=2x,
x1
2
-
x2
2
=2y

|PQ|=2
2
,∴(x1-x2)2+(
x1
2
+
x2
2
)2=8

(2
2
y)2+(
2x
2
)2=8

化简得轨迹C的方程为
x2
4
+y2=1
.…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得F1(-
3
,0),F2(
3
,0)

根据题意直线l与x轴不能重合,
∴设l的方程为x=ky-
3
,设A(x3,y3),B(x4,y4).
x=ky-
3
代入
x2
4
+y2=1

化简并整理得(k2+4)y2-2
3
ky-1=0

y3+y4=
2
3
k
k2+4
,y3y4=-
1
k2+4

|y3-y4|=
(y3+y4)2-4y3y4
=
(
2
3
k
k2+4
)
2
+
4
k2+4

=4
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6

∴△ABF2面积S=
1
2
|F1F2|•|y3-y4|=4
3
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6

4
3
1
2
(k2+1)•
9
k2+1
+6
=2

当且仅当k2+1=
9
k2+1
时,即等号成立.
∴当k=
2
时,y3+y4=
6
3
y3y4=-
1
6

x3+x4=k(y3+y4)-2
3
=-
4
3
3
x3x4=(ky3-
3
)(ky4-
3
)=k2y3y4-
3
k(y3+y4)+3=
2
3

F2A
F2B
=(x3-
3
y3)•(x4-
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),经过点(3,-2)与向量(-1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又
AM
=2
MB

(Ⅰ)求椭圆C长轴长的取值范围;
(Ⅱ)若|
AB
|=
3
2
2
,求椭圆C的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点P(1,
3
2
)

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点,问在椭圆C上是否存在一点M,使四边形AMBF2为平行四边形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.

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已知抛物线C:y=-x2+2x,在点A(0,0),B(2,0)分别作抛物线的切线L1、L2
(1)求切线L1和L2的方程;
(2)求抛物线C与切线L1和L2所围成的面积S.

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已知圆的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为A1、A2,直线A1A2恰好经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点,P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交定直线l:x=-4于两点Q、R,求证
OQ
OR
为定值.

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抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若△AMB的面积是△BMC面积的
1
2
,求直线MB的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的中心在原点,焦点y在轴上,焦距为2
3
,且过点M(-
13
4
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点N(
1
2
,1)
的直线l交椭圆C于A、B两点,且N恰好为AB中点,能否在椭圆C上找到点D,使△ABD的面积最大?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由.

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如图,
ADB
为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
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(Ⅱ)过点B的直线l与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,若
EM
=λ1
MB
EN
=λ2
NB
,求证:λ1+λ2
为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅?若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由.

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